Oggi esaminiamo un Certificate Phoenix Memory Fast Step Down emesso da Barclays (ISIN: XS3351292613), che permette di investire in un gruppo di azioni appartenenti al macro settore finanziario italiano.
Il portafoglio di riferimento su cui si basa il certificato di Barclays include: BPER Banca (BPE.MI), Assicurazioni Generali (G.MI), Unicredit (UCG.MI) e Poste Italiane (PST.MI).
Informazioni Quantitative: Stima di Correlazione, Volatilità e Dividendi
Segue un’analisi, inizialmente teorica e successivamente pratica, delle correlazioni del portafoglio, della volatilità implicita e dei forward dividend yield degli attivi inclusi nel certificate di Barclays.
La Correlazione di Portafoglio
Prima di procedere con la definizione della matrice di correlazione dei rendimenti del portafoglio sottostante il certificato di Barclays, è necessario fare alcune premesse.
Ogni elemento generico della matrice situato alla riga i e alla colonna j rappresenta il coefficiente di correlazione lineare di Pearson tra i rendimenti di due titoli generici i e j. In formule:
dove:
- σij o Cov(Ri, Rj) rappresenta la covarianza tra i rendimenti del titolo i e del titolo j.
- σi e σj sono le deviazioni standard (volatilità) dei rispettivi titoli (calcolate come radici quadrate delle varianze dei rendimenti dei titoli i e j)
La matrice di correlazione dei rendimenti storici del portafoglio (indicata usualmente con la lettera R) è quindi una matrice quadrata e simmetrica di dimensione K x K (dove K è il numero dei titoli) che descrive le relazioni lineari tra i rendimenti di tutte le possibili coppie di asset.
Ampliando la formula per un portafoglio di K titoli, la matrice si struttura teoricamente in questo modo:
Proprietà teoriche fondamentali:
- Diagonale principale pari a 1: Ogni titolo ha una correlazione perfetta e positiva con se stesso (ρii = σii/σi^2 = 1). Dove σii è la covarianza dell’i-esimo titolo con se stesso, uguale alla varianza del titolo stesso. Dal momento che σi^2 è la varianza del titolo i ne consegue che ρii è pari a 1. In altre parole, l’auto correlazione è pari a 1.
- Simmetria: La matrice è perfettamente speculare rispetto alla diagonale poiché ρij = ρji.
- Definita semi-positiva: Matematicamente, garantisce che la varianza del portafoglio complessivo non possa mai assumere un valore negativo.
Stima della matrice di correlazione dei rendimenti di portafoglio
Segue il calcolo della Matrice di Correlazione Annuale (circa 22 maggio 2025 – 22 maggio 2026) dei Rendimenti Logaritmici Settimanali basati sui prezzi rettificati di chiusura.
La matrice mostra una alta correlazione tra tutti i titoli (6 incroci su 6 hanno una correlazione >0,50, ossia si sono mossi per oltre la metà del tempo in sincrono). Riflettono quindi la loro appartenenza al macro settore finanziario italiano.
Analisi degli incroci
L’analisi viene fatta in ordine decrescente di correlazione degli incroci.
1. BPE.MI – UCG.MI (ρ= 0,785): È l’incrocio con la correlazione più alta del portafoglio. Entrambi appartengono al settore bancario italiano (peraltro il FTSEMIB è banco-centrico). Nell’ultimo anno hanno reagito in modo quasi identico (per oltre i 3/4 del tempo) alle decisioni sui tassi di interesse della BCE, al rischio sovrano (spread BTP/Bund) ed alle dinamiche del credito nazionale.
2. UCG.MI – G.MI (ρ= 0,614): Correlazione solida e positiva. Generali (assicurativo) e UniCredit (bancario) sono pesi massimi del settore finanziario italiano e condividono un’ampia esposizione verso i titoli di Stato domestici in portafoglio.
3. G.MI – PST.MI (ρ= 0,595): Un legame spiegabile dalla forte componente di business assicurativo (PosteVita) e di risparmio gestito che accomuna Poste Italiane alle Assicurazioni Generali.
4. G.MI – BPE.MI (ρ= 0,582): Valore sorprendentemente simile al precedente dato che BPER è una banca spiccatamente retail/territoriale e il Generali è il gigante italiano delle assicurazioni che opera anche a livello globale.
5. UCG.MI – PST.MI (ρ= 0,548): Correlazione moderatamente sostenuta. Poste Italiane possiede un modello di business più diversificato (servizi postali, logistica, pagamenti) rispetto a una banca pura come UniCredit, riducendo parzialmente la sincronizzazione dei movimenti.
6. PST.MI – BPE.MI (ρ= 0,512): È l’incrocio con il coefficiente più basso. Evidenzia la diversificazione massima ottenibile in questo paniere, legando la dinamica territoriale di BPER all’operatività multi-servizio di Poste.
Calcolo Teorico della Correlazione Media (aritmetica e con pesi asimmetrici)
La correlazione media aritmetica ipotizza un portafoglio equipesato, ossia peso w(i)=1/N, con N = numero dei possibili incroci (le coppie uniche fuori dalla diagonale). Se definiamo:
- i < j come vincolo matematico che serve a selezionare l’incrocio tra l’i-esimo e il j-esimo titolo una sola volta (es. unisce il titolo 1 con il titolo 2, ma esclude il duplicato 2 con 1 e la conseguente auto-correlazione 1 con 1)
- N come numero complessivo di incroci unici (ossia, come detto fra coppie distinte, e cioè fuori dalla diagonale principale: si prende una delle due diagonali, dato che l’una è speculare all’altra), calcolati ossia in una matrice di correlazione con K titoli generici, allora la formula corrisponde alla definizione delle combinazioni semplici di K elementi presi a 2 a 2
K x (K – 1) significa che il rendimento del K-esimo titolo della matrice si incrocia con tutti gli altri titoli escluso se stesso (K – 1).
La formula della correlazione equipesata di portafoglio si esprime come:
Calcolo pratico della correlazione media aritmetica e asimmetrica
Nel calcolo equipesato, ogni coppia di titoli ha lo stesso peso specifico (in questo caso 1/6). La media aritmetica semplice dei coefficienti di correlazione delle coppie distinte è quindi pari a:
Nel calcolo della correlazione assimmetrica i pesi del portafoglio vengono allocati in base ai prezzi spot del 22/05/2026. I titoli sono ordinati come: 1 = BPE.MI, 2 = G.MI, 3 = UCG.MI, 4 = PST.MI
Valore Totale Portafoglio Spot = (11,492 + 38,94 + 72,11 + 24,458 = 147,00 EUR
In base alla generica formula del peso del generico titolo i si ottiene:
- w_bpe = 7,872%
- w_g = 26,49%
- w_ucg = 49,05%
- w_pst =16,64%
Fase A: Calcolo del Numeratore della formula asimmetrica
Prima moltiplichiamo i pesi di ciascuna delle 6 coppie uniche per la loro rispettiva correlazione:
- Coppia 1-2 (BPE-G): 0,0782 x 0,2649 x 0,582
- Coppia 1-3 (BPE-UCG): 0,0782 x 0,4905 x 0,785
- Coppia 1-4 (BPE-PST): 0,0782 x 0,1664 x 0,512
- Coppia 2-3 (G-UCG): 0,2649 x 0,4905 x 0,614
- Coppia 2-4 (G-PST): 0,2649 x 0,1664 x 0,595
- Coppia 3-4 (UCG-PST): 0,4905 x 0,1664 x 0,548
Poi vengono sommati per trovare il numeratore
Fase B: Calcolo del Denominatore della formula asimmetrica
Calcolo dei prodotti dei soli pesi delle 6 coppie (ossia senza la correlazione):
- Coppia 1-2: 0,0782 x 0,2649
- Coppia 1-3: 0,0782 x 0,4905
- Coppia 1-4: 0,0782 x 0,1664
- Coppia 2-3: 0,2649 x 0,4905
- Coppia 2-4: 0,2649 x 0,1664
- Coppia 3-4: 0,4905 x 0,1664
Poi vengono sommati per trovare il denominatore
Fase C: calcolo del rapporto della formula
Dividendo il numeratore per il denominatore otteniamo il valore della correlazione asimmetrica, che è circa pari a 0,6341.
Commento alle correlazioni medie
La correlazione asimmetrica risulta superiore rispetto a quella equipesata. Questo fenomeno è dovuto al fatto che il portafoglio basato sui prezzi spot è fortemente sbilanciato verso UniCredit. Quest’ultima, da sola pesa, per circa il 49% del paniere ed esprime le correlazioni singole più elevate della matrice (in particolare lo 0,785 con BPER e lo 0,614 con Generali). Di conseguenza, l’effetto di concentrazione monetaria aumenta la vulnerabilità sistemica del portafoglio rispetto a una distribuzione uniforme dei pesi.
